Page 16 - MATeMAtyka 1. Podręcznik

Przykład 5
Uzasadnij, że dla dowolnej liczby całkowitej n liczba S jest podzielna przez 5.
S =(4n − 1)(n − 2) + (4 − n)(2 − n)
Przekształcamy wyrażenie opisujące liczbę S:
S =(4n − 1)(n − 2) + (4 − n)(2 − n)= Mnożymy sumy algebraiczne.
2
2
=4n − 8n − n +2+8 − 4n − 2n + n = Redukujemy wyrazy podobne.
2
=5n − 15n +10 =
2
=5(n − 3n +2) Wyłączamy liczbę 5 przed nawias.
Liczbę S przedstawiliśmy w postaci iloczynu, którego jednym z czynników
2
2
jest liczba 5, a drugim liczba n − 3n + 2. Liczba n − 3n +2 jest całkowita,
ponieważ jest sumą liczb całkowitych. Zatem S jest podzielna przez 5.
Ćwiczenie 5
Uzasadnij, że dla dowolnej liczby całkowitej n liczba postaci:
a) (2n − 3)(n +4) + (n − 3)(n +2) − n jest podzielna przez 3,
b) (3n − 4)(2n − 5) − (2n − 1)(5 − 2n) jest podzielna przez 5,
c) (6n − 3)(n +4) − (3n − 2)(2n − 1) jest podzielna przez 7.

Przykład 6
2
a) Rozwiąż równanie (x − 1)(x +3) = x .
(x − 1)(x +3) = x 2 Mnożymy sumy algebraiczne i przenosimy x 2
2
2
x +3x − x − 3 − x =0 na lewą stronę równania ze zmienionym znakiem.
Redukujemy wyrazy podobne.
2x =3 / :2
1
x =1
2
b) Rozwiąż nierówność (2x + 1)(2x +5) + x (4x − 1)(x +3).
(2x + 1)(2x +5) + x (4x − 1)(x +3)
2
2
4x +10x +2x +5 + x 4x +12x − x − 3
2 2
4x +10x +2x + x − 4x − 12x + x −3 − 5 Przenosimy ze zmienionym znakiem
2x −8/ :2 wyrażenia zawierające niewiadomą
na lewą stronę nierówności,
x −4
a liczby na prawą stronę.
Ćwiczenie 6
Rozwiąż.
a) (x +2)(x − 5) = x 2 d) (x +4)(x − 1) <x(x +2) + 2x − 1
2
b) (x + 3)(1 − 2x)+ 2x =0 e) (2x + 3)(3x − 1) + 4 > (6x − 2)(x +1)
2
c) 3x − (x + 1)(3x +2) = 0 f) (1−x)(2x+3) −2(x+1)(x−2)−2

80 2. Język matematyki